FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1.      Konsep fungsi

Fungsi atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B

Operasi dalam Fungsi :

n  Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)

n  Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)

n  Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)

n  Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)

jika x ÎA dan y Î B, sehingga    (x,y) Î f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)

(ditunjukkan dalam gambar disamping)

 

    

                A                B

f : x à y = f (x)

 

 

 

y = f (x) : rumus untuk fungsi f

x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas

 

Contoh :

Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}

a.       Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).

b.      Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.

c.       Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :

a.       f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1          

f (1) = 1            

f (2) = 3

f (3) = 5

f (4) = 7

b.      Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

 

8                                                                y = f (x) = 2x – 1

 

7

 

 

5

 

 

3

 

 

1

 

             1           2          3           4           5

-1                   Daerah

                         asal

 

c.       Daerah hasil fungsi f è R_f = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}

 

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).

Contoh :

Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :

1.      f (x) =

Jawab :

f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1

Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}

2.   Pengertian fungsi komposisi

             Merupakan  penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi  Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C

n  Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  à fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f

Contoh

1.      Diketahui

f : R ® R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ® R ; g(x) = x + 3

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19

Jawab:

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4

(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33

(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

3.      Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i.   (fog)(x) ≠ (g o f)(x)                         (tidak komutatif)

ii.  ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

perhatikan contoh soal :

1.Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

Maka nilai

       (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

         (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

         (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)        

       Kemudian nilai

       ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

       (fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

         Begitu juga

       (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

       (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

4.      Konsep  Fungsi Invers

Ø  Definisi

            Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh:   f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

            Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^-1 : x = f(y)  

Maka   (f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)

Ø  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

                          i.      f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f ^-1(x) =; a ≠ 0

                        ii.      f(x) = ; x ≠ - ®  f ^-1(x) = ; x ≠

                      iii.      f(x) = a^cx ; a > 0  ®  f ^-1(x) = ^alog x^1/c = ^alog x ; c ≠ 0

                      iv.      f(x) = ^a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f ^-1(x) = ; c ≠ 0

                        v.      f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f ^-1(x)=

ingat :

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh

1.      Diketahui f: R ®  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f ^-1 (x)!
Cara 1:

y = 2x - 5 (yang berarti x = f ^-1(y))
2x = y + 5

x =
f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) = ax + b  ®  f ^-1(x) =

f(x) = 2x – 5  ®  f ^-1(x) =

Contoh

2.      Diketahui  Tentukan !

      Cara 1:

     

      y(x - 4) = 2x + 1

      yx – 4y = 2x + 1

      yx – 2x = 4y + 1

      x(y – 2) = 4y + 1

      x = 

      f ^-1(x) =

Cara 2:

      f(x) =  ®  f ^-1(x) =

       ®  f ^-1(x) =

5.      Aplikasi fungsi komposisi

Ø  Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh :

1.      Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x² + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) = 2x² + 2x – 12

g(f(x)) = 2x² + 2x – 12

3 – 2f(x) = 2x² + 2x – 12

-2f(x) = 2x² + 2x – 15

f(x) = -x² – x + 7,5

Cara 2:

g(x) = 3 – 2x  ®  g ^-1(x) =

  f(x) = [g ^-1 o (g o f)](x)

f(x) =

Latihan Soal:

1.      Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = , maka (fog)(x)?

2.      Diketahui fungsi-fungsi f : R ® R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R ® R didefinisikan dengan g(x) = . Hasil dari fungsi (fg)(x)?

3.      Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) = . Rumus (gof)(x)?

4.      Diketahui  f : R à R  didefinisikan dengan  f(x) = 3x – 5,   g : R à R didefinisikan dengan .  Hasil dari fungsi  (gof)(x)?

5.      Jika f(x) = dan (fg)(x) = 2, maka fungsi g adalah g(x)?

6.      Diketahui fungsi f(x) = , dan g(x) = x² + x + 1. Nilai komposisi fungsi (g o f)(2) adalah

7.      Suatu pemetaan f : R ® R, g : R ® R dengan (q o f)(x) = 2x² + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x)?

8.      Fungsi f : R ® R didefinisikan dengan  f(x) = . Invers dari f(x) adalah f ^{– 1} (x)

Lengkapnya bisa di download lewat sini || KumpulBagi

Related Posts: