1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
jika x ÎA dan y Î B, sehingga (x,y) Î f, maka y disebut peta atau
bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
|
f : x à y = f (x)
|
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
a.
Tentukan f (0), f (1), f (2), f
(3) dan f (4).
b.
Gambarkan grafik fungsi y : f (x)
= 2x – 1 dalam bidang kartesius.
c.
Tentukan daerah hasil dari fungsi
f.
Jawab :
a.
f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b.
Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
8 y
= f (x) = 2x – 1
7
5
3
1
1 2 3 4 5
-1 Daerah
asal
c.
Daerah hasil fungsi f è Rf = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka
dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin,
sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan
dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
1.
f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1
Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}
2.
Pengertian
fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi komposisi
Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau
bundaran).
Misalkan: f : A ®
B dan g : B ®
C
n Notasi : (f o g)(a) =
f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai
dari g(a) ke f
Contoh
1.
Diketahui
f : R
® R ;
f(x) = 2x² +1, g : R ® R ;
g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) =
f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) =
g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6
3.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka
berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
perhatikan
contoh soal :
1.Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
4. Konsep
Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan
terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f
adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Ø
Rumus
Cepat Menentukan Fungsi Invers
i.
f(x)
= ax + b; a ≠ 0 ®
f -1(x) =; a ≠ 0
ii.
f(x)
= ; x
≠ - ®
f -1(x) = ; x
≠
iii.
f(x)
= acx ; a > 0 ®
f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
iv.
f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) = ; c ≠ 0
v.
f(x)
= ax²+bx+c; a≠0 ®
f -1(x)=
ingat
:
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh
1. Diketahui
f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh
2. Diketahui Tentukan !
Cara 1:
y(x - 4) = 2x
+ 1
yx – 4y = 2x +
1
yx – 2x = 4y +
1
x(y – 2) = 4y
+ 1
x =
f -1(x)
=
Cara 2:
f(x) = ® f -1(x) =
® f -1(x) =
5.
Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh :
1.
Diketahui
g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi
f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12
3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x) = 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x) =
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Latihan Soal:
1.
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) = , maka (fog)(x)?
2.
Diketahui fungsi-fungsi f : R ® R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R ® R didefinisikan
dengan g(x) = . Hasil dari fungsi
(fg)(x)?
3.
Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R yang
dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) = . Rumus (gof)(x)?
4.
Diketahui f : R à R
didefinisikan dengan f(x) = 3x –
5, g
: R à R didefinisikan dengan . Hasil dari fungsi (gof)(x)?
5.
Jika f(x) = dan (fg)(x) = 2, maka fungsi g adalah g(x)?
6.
Diketahui fungsi f(x) = , dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi
fungsi (g o f)(2) adalah
7.
Suatu
pemetaan f : R ® R, g : R ® R dengan (q o f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x)?
8.
Fungsi f : R ®
R didefinisikan dengan f(x) = . Invers dari f(x) adalah
f – 1 (x)
Lengkapnya bisa di download lewat sini || KumpulBagi
0 Response to "FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS"
Posting Komentar
NO SARA & NO SPAM